Question

5．已知第一象限的点P（a，b）在一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2图象上运动，则$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{11}{3}$
• C． 4
• D． $\frac{25}{6}$

Answer 1

分析 第一象限的点P（a，b）在一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2图象上运动，可得3b+2a=6（a，b＞0）．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵第一象限的点P（a，b）在一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+2图象上运动，
∴b=-$\frac{2}{3}a$+2，化为3b+2a=6（a，b＞0）．
则$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$=$\frac{1}{6}（3b+2a）$$（\frac{2}{a}+\frac{3}{b}）$=$\frac{1}{6}（13+\frac{6b}{a}+\frac{6a}{b}）$≥$\frac{1}{6}（13+6×2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}）$=$\frac{25}{6}$，当且仅当b=a=$\frac{6}{5}$时取等号．
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{3}{b}$的最小值为$\frac{25}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了点与直线的位置关系、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．