Question

14．某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（℃）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：

日    期	1月11日	1月12日	1月13日	1月14日	1月15日
平均气温x（℃）	9	10	12	11	8
销量y（杯）	23	25	30	26	21

（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$．
（参考公式：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}，\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．）

Answer 1

分析 （1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，列出所有基本事件（m，n），事件A包括的基本事件，即可求解概率．
（2）利用已知条件求解，回归直线方程的几何量，得到结果即可．

解答 （本小题满分18分）
解：（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A．…（1分）
所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15）共10种．…（6分）
事件A包括的基本事件有（11，12），（12，13），（13，14），（14，15）共4种．…（8分）
∴$P（A）=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．  …（10分）
（2）由数据，求得$\overline x=\frac{9+10+12+11+8}{5}=10$，$\overline y=\frac{23+25+30+26+21}{5}=25$．…（12分）$\hat b=\frac{{（{9-10}）（{23-25}）+（{10-10}）（{25-25}）+（{12-10}）（{30-25}）+（{11-10}）（{26-25}）+（{8-10}）（{21-25}）}}{{{{（{9-10}）}^2}+{{（{10-10}）}^2}+{{（{12-10}）}^2}+{{（{11-10}）}^2}+{{（{8-10}）}^2}}}=2.1$$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=4$，…（16分）
∴y关于x的线性回归方程为$\hat y=2.1x+4$． …（18分）

点评 本题考查古典概型概率的求法，回归直线方程的求法，考查计算能力．