Question

2．（1）5名同学排成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
（2）“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数（如632），那么比666小的三位渐降数共有多少个？

Answer 1

分析 （1）利用间接法，先排没有限制的，再排除甲、乙两人相邻的；
（2）需要分类讨论，百位是6，5，4，3，2，根据加法原理可得答案．

解答 解：（1）五名同学排成一排有$A_5^5=120$种排法，
其中甲、乙两人相邻有$A_4^4A_2^2=48$种排法，
所以甲、乙两人不相邻的排法有120-48=72种排法．
（2）百位是6，十位是5比666小的渐降数有654，653，652，651，650共5个，
百位是6，十位是4比666小的渐降数有643，642，641，640共4个，
百位是6，十位是3比666小的渐降数有632，631，630共3个，
百位是6，十位是2比666小的渐降数有621，620共2个，
百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，
所以百位是6比666小的渐降数有1+2+3+4+5=15个，
同理：百位是5比666小的渐降数有1+2+3+4=10个，
百位是4比666小的渐降数有1+2+3=6个，
百位是3比666小的渐降数有1+2=3个，
百位是2比666小的渐降数有1个，
所以比666小的三位渐降数共有15+10+6+3+1=35个．

点评 本题考查排列、组合的应用，关键是理解“渐降数”的含义，属于中档题