Question

15．已知函数f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数g（x）与f（x）关于直线x=$\frac{π}{4}$对称，求g（x）在闭区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$，由周期公式可求最小正周期，由$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$得对称轴．由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$得单调增区间．
（Ⅱ）设g（x）图象上任意一点为（x，y），点（x，y）关于$x=\frac{π}{4}$对称的点$（\frac{π}{2}-x，y）$在函数f（x）上，可得g（x）解析式，结合x的范围，由正弦函数的性质即可求得最大值及最小值．

解答 解：由$f（x）=cosx•sin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$cosx•（sinx•cos\frac{π}{3}+cosx•sin\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}sinx•cosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{cos^2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{4}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{4}（1+cos2x）+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
=$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$…（3分）
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$…（4分）
令$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}$得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，故对称轴为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}（k∈Z）$…（5分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}（k∈Z）$，
即单调增区间为$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]（k∈Z）$…（7分）
（Ⅱ）设g（x）图象上任意一点为（x，y），
点（x，y）关于$x=\frac{π}{4}$对称的点$（\frac{π}{2}-x，y）$在函数f（x）上，即$g（x）=f（\frac{π}{2}-x）=\frac{1}{2}sin[2（\frac{π}{2}-x）-\frac{π}{3}]=\frac{1}{2}sin（\frac{2π}{3}-2x）=-\frac{1}{2}sin（2x-\frac{2π}{3}）$…（8分）
又$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$，所以$-\frac{7π}{6}≤2x-\frac{2π}{3}≤\frac{π}{3}$，则$-\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}sin（2x-\frac{2π}{3}）≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
故$g（x）∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{1}{2}]$…（9分）
所以$g{（x）_{min}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；$g{（x）_{max}}=\frac{1}{2}$…（10分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．