Question

10．在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任意一点P关于斜坐标系xOy的斜坐标定义为：若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$，其中向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$分别为斜坐标轴x，y轴同方向的单位向量，则P点的坐标为（x，y）．
（1）若P点的坐标为（3，-2），则|$\overrightarrow{OP}$|$\sqrt{7}$；
（2）以O为圆心，2为半径的圆在斜坐标系下的方程为x²+y²+xy=4．

Answer 1

分析 （1）若P点的坐标为（3，-2），利用数量积得性质可得|$\overrightarrow{OP}$|；
（2）以O为圆心，2为半径的圆满足|$\overrightarrow{OP}$|=1，利用数量积得性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，
∴$|\overrightarrow{OP}{|^2}=9\overrightarrow e_1^2-2×3×2{\overrightarrow e_1}•{\overrightarrow e_2}+4\overrightarrow e_2^2$=$9-2×2×3|{\overrightarrow e_1}|•|{\overrightarrow e_2}|cos{60°}+4$=7，
故$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{7}$．
（2）∵$|\overrightarrow{OP}|=|x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}|=2$，∴$|\overrightarrow{OP}{|^2}={x^2}\overrightarrow e_1^2+2xy{\overrightarrow e_1}•{\overrightarrow e_2}+{y^2}\overrightarrow e_2^2=4$，
即${x^2}+2xy|{\overrightarrow e_1}|•|{\overrightarrow e_2}|cos{60°}+{y^2}=4$，化简得x²+y²+xy=4．
故答案为：（1）$\sqrt{7}$； （2）x²+y²+xy=4．

点评 正确理解斜坐标系定义和掌握数量积得运算公式是解题的关键．