Question

20．向量$\vec a$与向量$\vec a-\vec b$的夹角是$\frac{π}{3}$，$|{\vec a}|=1$，$|{\vec a-\vec b}|=3$，则$|{\vec b}|$等于（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由于向量$\vec a$与向量$\vec a-\vec b$的夹角是$\frac{π}{3}$，$|{\vec a}|=1$，$|{\vec a-\vec b}|=3$，可得$cos\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$，解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
由于$|{\vec a-\vec b}|=3$，可得$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=3代入解出即可．

解答 解：∵向量$\vec a$与向量$\vec a-\vec b$的夹角是$\frac{π}{3}$，$|{\vec a}|=1$，$|{\vec a-\vec b}|=3$，
∴$cos\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{1×3}$，化为$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$．
∵$|{\vec a-\vec b}|=3$，∴$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=3，∴1+${\overrightarrow{b}}^{2}$-2×$（-\frac{1}{2}）$=9．
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$=7，
∴$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{7}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．