Question

16．已知函数f（x）=sin2x+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x），x∈R．
（1）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（3）求函数f（x）的最小值及此时x的集合．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式后，代入x=$\frac{π}{4}$即可得解．
（2）由三角函数的周期性及其求法即可得解．
（3）由正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的最小值及此时x的集合．

解答 解：（1）∵f（x）=sin2x+2sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）=sin2x+sin（2x+$\frac{π}{2}$）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=1．
（2）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（3）当2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z时，
即x=kπ-$\frac{3π}{8}$（k∈Z）时，f（x）取得最小值-$\sqrt{2}$，
即f（x）_min=-$\sqrt{2}$，x的集合为{x|x=kπ-$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．