Question

6．某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润y₁与投入资金x成正比，其关系如图1所示，B品牌的销售利润y₂与投入资金x的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：万元）．
（1）分别将A、B两个品牌的销售利润y₁、y₂表示为投入资金x的函数关系式；
（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？

Answer 1

分析 （1）设y₁=k₁x（x＞0），y₂=k₂$\sqrt{x}$（x＞0），分别代入点（2，0.5）和（4，1.5），解方程即可得到所求函数的解析式；
（2）设总利润为y，投入B品牌为x万元，则投入A品牌为（5-x）万元，则$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}（0＜x＜5）$，令$t=\sqrt{x}（0＜t＜\sqrt{5}）$，运用二次函数在闭区间上最值的求法，可得y的最大值．

解答 解：（1）因为A品牌的销售利润y₁与投入资金x成正比，
设y₁=k₁x（x＞0），
又过点（2，0.5），解得${k_1}=\frac{1}{4}$，
所以${y_1}=\frac{1}{4}x（x＞0）$；
B品牌的销售利润y₂与投入资金x的算术平方根成正比，
设y₂=k₂$\sqrt{x}$（x＞0），又过点（4，1.5），即有1.5=2k₂，
解得k₂=$\frac{3}{4}$，
所以y₂=$\frac{3}{4}$$\sqrt{x}$（x＞0）；
（2）设总利润为y，投入B品牌为x万元，则投入A品牌为（5-x）万元，
则$y=\frac{1}{4}（5-x）+\frac{3}{4}\sqrt{x}（0＜x＜5）$，
令$t=\sqrt{x}（0＜t＜\sqrt{5}）$，
则$y=\frac{1}{4}（-{t^2}+3t+5）$=$-\frac{1}{4}{（t-\frac{3}{2}）^2}+\frac{29}{16}$，
当$t=\frac{3}{2}$时，即$x=\frac{9}{4}$时，投入A品牌为：$5-\frac{9}{4}=\frac{11}{4}$，${y_{max}}=\frac{29}{16}$．
答：投入A品牌$\frac{11}{4}$万元、B品牌$\frac{9}{4}$万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为$\frac{29}{16}$万元．

点评 本题考查函数的解析式的求法和函数的最值，主要考查二次函数的最值求法和换元法思想，属于中档题．