Question

15．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，$DM=3\sqrt{2}$．
（1）求证：OD⊥面ABC；
（2）求点M到平面ABD的距离．

Answer 1

分析 （1）根据题意给出的条件得出OD⊥AC．OD⊥OM，运用直线平面的垂直判定定理可证明．
（2）V_M-ABD=V_D-MAB，运用等积法求解距离问题．

解答 证明：（1）由题意，OM=OD=3，
∵DM=3$\sqrt{2}$，
∴∠DOM=90°，OD⊥OM，
又∵菱形ABCD，
∴OD⊥AC．                                
∵OM∩AC=O，
∴OD⊥平面ABC    
（2）由（1）知OD=3为三棱锥D-ABM的高．     

△ABM的面积为S_△ABM=$\frac{1}{2}×BA×BM$×sin120°=$\frac{1}{2}×6×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
又 AB=AD=6，BD=3$\sqrt{2}$  所以S_△ABD=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{14}}{2}$=$\frac{9\sqrt{7}}{2}$，V_M-ABD=V_D-MAB，
$\frac{1}{3}×$$\frac{9\sqrt{7}}{2}$•d=$\frac{1}{3}×$$\frac{9\sqrt{3}}{2}$×3，
d=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了空间直线平面垂直问题，利用等积法求解空间距离，考查了学生的空间想象能力，计算能力．