Question

8．已知函数f（x）=λsinx+cosx图象的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{6}$，则此函数的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由于函数f（x）=λsinx+cosx=$\sqrt{{λ}^{2}+1}$sin（x+φ）图象的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{6}$，可得$λsin\frac{π}{6}$+$cos\frac{π}{6}$=$±\sqrt{{λ}^{2}+1}$，
解出即可．

解答 解：∵函数f（x）=λsinx+cosx=$\sqrt{{λ}^{2}+1}$sin（x+φ）图象的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{6}$，
∴$λsin\frac{π}{6}$+$cos\frac{π}{6}$=$±\sqrt{{λ}^{2}+1}$，
解得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴此函数的最大值为$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．