Question

19．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≤1}\\{y≤a}\\{x≥0}\end{array}\right.$
（1）当不等式组表示的区域为三角形时，求a的范围；
（2）当a=2时，求$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围．

Answer 1

分析 先画出满足条件的平面区域，（1）由图象可直接读出a的范围；（2）根据$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义求出其范围即可．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
（1）显然当0＜a≤1时，不等式组表示的区域为三角形；
（2）a=2时，平面区域如图示：
而$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义表示过平面区域内的点（x，y）与点（-2，-1）的直线的斜率，
显然，直线过（0，2）时，$\frac{y+1}{x+2}$最大，${（\frac{y+1}{x+2}）}_{最大值}$=$\frac{3}{2}$，
直线过（1，0）时，$\frac{y+1}{x+2}$最小，${（\frac{y+1}{x+2}）}_{最小值}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围是：[$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考察了解得的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．