Question

7．定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续不断，f′（x）是f（x）的导数，当x≠0时，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，则哈数g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零点的个数（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 0或2

Answer 1

分析 由题意可得得$\frac{x{f}^{′}（x）+f（x）}{x}$＞0，进而可得函数xf（x）单调性，而函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$=$\frac{xf（x）+1}{x}$，的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，
可得y=xf（x）+1＞1，无零点

解答 解：由f'（x）+x^-1f（x）＞0，得$\frac{x{f}^{′}（x）+f（x）}{x}$＞0，
当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即[xf（x）]'＞0，函数xf（x）单调递增；
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]'＜0，函数xf（x）单调递减．
又g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$=$\frac{xf（x）+1}{x}$，函数g（x）=$\frac{xf（x）+1}{x}$的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数．
当x＞0时，y=xf（x）+1＞1，当x＜0时，y=xf（x）+1＞1，所以函数y=xf（x）+1无零点，
所以函数g（x）=f（x）+x^-1的零点个数为0个，
故选：A．

点评 本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及函数的单调性，属中档题，关键是构造函数g（x）=xf（x）+1