Question

12．解不等式：$\frac{x-5}{{x}^{2}-2x-3}$≥1．

Answer 1

分析 将分式不等式同解变形为（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）≥0，且x-3≠0，x+1≠0，将不等式各个一次式对应的根标在数轴上，用曲线穿起来，位于轴上方的x的范围，写出集合形式即为不等式的解集．

解答 解：∵$\frac{x-5}{{x}^{2}-2x-3}$≥1，
∴$\frac{x-5}{{x}^{2}-2x-3}$-1≥0，
∴$\frac{{x}^{2}-3x+2}{{x}^{2}-2x-3}$≥0，
∴$\frac{（x-1）（x-2）}{（x-3）（x+1）}$≥0，
即（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）≥0，且x-3≠0，x+1≠0，
如图所示，
∴不等式的解集为（-∞，-1）∪[1，2]∪（3，+∞）．

点评 解决分式不等式、高次不等式常用的方法是利用穿根的方法，注意将自变量的范围写出区间或集合形式．