Question

20．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁+a₃=$\frac{5}{2}$，且a₂+a₄=$\frac{5}{4}$，则$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=（　　）

• A． 4^n-1
• B． 4ⁿ-1
• C． 2^n-1
• D． 2ⁿ-1

Answer 1

分析 设出等比数列的公比为q，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q的值，进而求出a₁的值，表示出S_n与a_n，即可求出之比．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∴q=$\frac{{a}_{2}+{a}_{4}}{{a}_{1}+{a}_{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a₁+a₃=a₁（1+q²）=a₁（1+$\frac{1}{4}$）=$\frac{5}{2}$，
解得：a₁=2，
∴a_n=2×（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-2，S_n=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}}{（\frac{1}{2}）^{n-2}}$=2ⁿ-1，
故选：D

点评 此题考查了等比数列，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．