Question

2．曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{t}}\\{y=\frac{1}{t}\sqrt{{t}^{2}-1}}\end{array}\right.$，直线l：ρcosθ+ρsinθ=a
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）直线l与曲线C有公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将曲线C的两式平方相加可得，曲线C的普通方程，注意范围；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直线l的普通方程；
（2）求得直线和圆相切的a值，以及直线过点（-1，0），（1，0），可得a值，结合直线和曲线有交点，即可得到a的范围．

解答 解：（1）将曲线C的两式平方相加可得，
曲线C的普通方程为：x²+y²=1（xy＞0或y=0），
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得
直线l的普通方程为：x+y=a．
（2）当直线和圆相切时，
d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=1，解得a=±$\sqrt{2}$，
当直线经过点（1，0）时，a=1，
当直线经过点（-1，0）时，a=-1，
由直线l与曲线C有公共点，
则a∈[-$\sqrt{2}$，-1]∪[1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，同时考查直线和圆的位置关系，考查观察和运算能力，属于中档题和易错题．