Question

13．已知命题p：函数f（x）=x²+2mx+2+m²在区间[2，+∞）上是增函数，
命题q：函数g（x）=4^x-2^x+1+m²-m+3的最小值大于4，
命题r：函数h（x）=（m²-m-2）x²+2mx+1的函数值恒大于0，
（1）若“非r”为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由“非r”为假命题，得出命题r为真命题，即函数h（x）=（m²-m-2）x²+2mx+1的函数值恒大于0，讨论得到m的范围．
（2）求出命题p和命题q的真假，命题“p或q”为真；命题“p且q”为假，求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵“非r”为假命题，∴命题r为真命题，
即函数h（x）=（m²-m-2）x²+2mx+1的函数值恒大于0，…（1分）
①当m²-m-2=0时，即m=-1或m=2m=-1时，h（x）=-2x+1不满足函数值恒大于0，m=2时，h（x）=4x+1也不满足函数值恒大于0，
即m=-1或m=2不合题意，…（2分）
②当m²-m-2≠0时，
则$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-m-2＞0\\{（{2m}）^2}-4（{{m^2}-m-2}）＜0\end{array}\right.$，…（4分）
解之得：m＜-2
综上所述可知所求实数m的取值范围为（-∞，-2）…（6分）
（2）f（x）=x²+2mx+2+m²=（x+m）²+2
若命题p是真命题，则-m≤2，即m≥-2
若命题p是假命题，则-m＞2，即m＜-2…（8分）
又g（x）=4^x-2^x+1+m²-m+3=（2^x-1）²+（m²-m+2），
即当x=0时，${[{g（x）}]_{min}}={m^2}-m+2$，
若命题q是真命题，则m²-m+2＞4，即m＞2或m＜-1，
若命题q是假命题，则m²-m+2≤4，即-1≤m≤2，…（10分）
∵命题“p或q”为真；命题“p且q”为假，
∴命题p和命题q必为一真一假
即$\left\{\begin{array}{l}p是真命题\\ q是假命题\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}p是假命题\\ q是真命题\end{array}\right.$…（12分）
即$\left\{\begin{array}{l}m≥-2\\-1≤m≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m＜-2\\ m＞2或m＜-1\end{array}\right.$，
解之得：-1≤m≤2或m＜-2
则所求实数m的取值范围是[-1，2]∪（-∞，-2）…（14分）

点评 本题主要考查命题真假在大题中的应用，要注意真假命题的判断，属于中档题型．