Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB-（2c-b）cosA=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得sinC（1-2cosA）=0，结合范围0＜C＜π，可得$cosA=\frac{1}{2}$，又结合0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由已知及余弦定理4=b²+c²-bc≥bc，可得bc≤4，当且仅当b=c=4时，取“=”，由三角形面积公式即可得解．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）因为acosB-（2c-b）cosA=0，
由正弦定理得：sinAcosB-（2sinC-sinB）cosA=0，
所以可得：sinC（1-2cosA）=0．…（2分）
因为0＜C＜π，所以sinC＞0，…（4分）
所以$cosA=\frac{1}{2}$，又0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$．…（7分）
（2）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
所以4=b²+c²-bc≥bc，所以bc≤4，
当且仅当b=c=2时，上式取“=”，…（10分）
所以△ABC面积为$S=\frac{1}{2}bcsinA≤\sqrt{3}$，
所以△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．