Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）．
（1）记d_n=a_n+1-a_n，求证：{d_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由题意将递推公式：a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）代入$\frac{{d}_{n+1}}{{d}_{n}}$，化简后由等比数列的定义可得{d_n}是等比数列；
（2）由（1）和等比数列的通项公式求出d_n，即可求出a_n+1-a_n，利用累加法和等比数列的前n项和公式求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵a_n+2=$\frac{3}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），且d_n=a_n+1-a_n，
∴$\frac{{d}_{n+1}}{{d}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{\frac{3}{2}{a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，则d₁=a₂-a₁=$\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$，
∴数列{d_n}是以$\frac{1}{2}$为首项、公比的等比数列；
（2）由（1）可得，d_n=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，则a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a₂-a₁=$\frac{1}{2}$，a₃-a₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$，a₄-a₃=$\frac{1}{{2}^{3}}$，…，a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
以上（n-1）个式子相加得，
a_n-a₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=a₁+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的递推公式的化简，等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及累加法求出数列的通项公式，属于中档题．