Question

10．在体积一定的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁F∥平面D₁AE，记A₁F与平面BCC₁B₁所成的角为θ，下列说法中正确的是①②④．
①点F的轨迹是一条线段；
②三棱锥F-AD₁E的体积为定值；
③A₁F与D₁E不可能平行；
④A₁F与CC₁是异面直线；
⑤tanθ的最大值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 找出F所在平面上的轨迹，然后判断①的正误；利用体积是否变化判断②的正误；找出F的特殊位置判断④大致为；求出tanθ的最大值，判断⑤的正误；

解答 解：对于①，取BC 的中点G，BB₁，B₁C₁的中点NM，连结MN，EG，则F在MN上，满足F是侧面BCC₁B₁内的动点，且A₁F∥平面D₁AE，
所以①正确；
对于②，因为MN∥EG，则F到平面AD₁E的距离是定值，三棱锥F-AD₁E的体积为定值，所以②正确；
对于③，当F在N时，A₁F与D₁E平行，所以③不正确；
对于④，A₁F与CC₁是异面直线；满足异面直线的定义，所以④正确；
对于⑤，A₁F与平面BCC₁B₁所成的角为θ，tanθ=$\frac{AB}{\frac{1}{4}×\sqrt{2}AB}$=2$\sqrt{2}$，所以⑤不正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查棱柱的几何特征，直线与平面所成角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断，考查逻辑推理以及计算能力．