Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，则S_△ABC=$\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B=$\frac{π}{3}$，由正弦定理可得sinA，再结合a＜b求得A，可得C，再由 S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，运算求得结果．

解答 解：在△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列，可得A+C=2B，再由三角形内角和公式求得B=$\frac{π}{3}$．
由于a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，有正弦定理可得 $\frac{\sqrt{2}}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$，
解得：sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再结合a＜b求得A=$\frac{π}{4}$，
∴C=$\frac{5π}{12}$，sin$\frac{5π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×sin\frac{5π}{12}$=$\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$，
故答案为：$\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查等差数列的定义和性质，正弦定理、根据三角函数的值求角，属于中档题．