Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}}}{sinx}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）=2，求x的取值集合及sin2x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求使sinx≠0的x 范围即可；
（Ⅱ）由f（x）=2，化简得到sin2x=-1，由此得到x．

解答 解：（Ⅰ）由sinx=0，得x=kπ（k∈Z），…2分
所以，函数f（x）的定义域为{x|x∈R，x≠kπ}（k∈Z）．…3分
（Ⅱ）由f（x）=2，得$\frac{{\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}}}{sinx}=2$
即$\sqrt{2}×（\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinx+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosx）+\sqrt{2}=2sinx$，
$sinx-cosx=\sqrt{2}$，…（*）  …5分
所以（sinx-cosx）²=2，即sin²x-2sinxcosx+cos²x=2，
所以，sin2x=-1．…8分
由sin2x=-1，得$2x=-\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，
则$x=-\frac{π}{4}+kπ（k∈Z）$，…10分
当k=2n-1（n∈Z）时，代入（*），矛盾，舍去；
当k=2n（n∈Z）时，代入（*），成立．
所以，x的取值集合是$\{x|x=-\frac{π}{4}+2nπ\}（n∈Z）$．…13分．

点评 本题考查了三角函数解析式的化简；用到了倍角公式、基本关系式等．