Question

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（2）若cosB=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3}{2}$，求a+c．

Answer 1

分析 （I）sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，化为$sinB•\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$，即sinBsinB=sinAsisnC，利用正弦定理可得b²=ac，即可证明．
（2）利用数量积运算性质、余弦定理即可得出．

解答 （I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC，∴$sinB•\frac{sinAcosC+cosAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$，
∴sinBsin（A+C）=sinAsisnC，即sinBsinB=sinAsisnC，利用正弦定理可得b²=ac，
∴a，b，c成等比数列；
（2）解：∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{3}{2}$，∴-accosB=-$\frac{3}{2}$，又cosB=$\frac{3}{4}$，
∴ac=2，
又cosB=$\frac{3}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，b²=ac．
∴3=（a+c）²-6，
解得a+c=3．

点评 本题考查了数量积运算性质、正弦定理与余弦定理、两角和差公式、等比数列定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．