Question

19．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a∈N^*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）解不等式f（x）＞mx（m∈R）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，1，4是方程ax²+（b-2）x+c=0的两根，且a＞0，运用韦达定理可得b，c，再由判别式为0，可得b，c，进而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由题意，不等式x²-（m+3）x+4＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，讨论对称轴和区间的关系，即可m的范围；
（Ⅲ）方程x²-（m+3）x+4=0的判别式△=（m+3）²-16，讨论判别式为0，大于0和小于0，即可得到不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）由题意，1，4是方程ax²+（b-2）x+c=0的两根，且a＞0，
由韦达定理得，1+4=$\frac{2-b}{a}$，1×4=$\frac{c}{a}$，即有b=2-5a，c=4a，
因为方程f（x）=x有两个相等的实数根，所以（b-1）²-4ac=0，
消去b，c得a=1或$\frac{1}{9}$（舍去），b=-3，c=4，
所以f（x）=x²-3x+4；        
（Ⅱ）由题意，不等式x²-（m+3）x+4＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，
设g（x）=x²-（m+3）x+4其图象的对称轴方程为x=$\frac{m+3}{2}$，
当$\frac{m+3}{2}$＞1即m＞-1时，有g（$\frac{m+3}{2}$）=$\frac{16-（m+3）^{2}}{4}$＞0，得-1＜m＜1，
当$\frac{m+3}{2}$≤1即m≤-1时，有g（1）=2-m≥0，得m≤-1，
综上，m＜1；         
（Ⅲ）方程x²-（m+3）x+4=0的判别式△=（m+3）²-16，
当△＜0即-7＜m＜1时，不等式的解集为R；  
当△=0时：m=-7时，不等式的解集为{x|x≠-2}；
m=1时，不等式的解集为{x|x≠-2}；
当△＞0即m＜-7或m＞1时，
不等式的解集为{x|x＜$\frac{m+3-\sqrt{{m}^{2}+6m-7}}{2}$或x＞$\frac{m+3+\sqrt{{m}^{2}+6m-7}}{2}$}．

点评 本题考查二次函数、二次方程和二次不等式的关系，主要考查二次不等式的解法和不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．