Question

在平面直角坐标系中，给定△ABC，点M为BC的中点，点N满足

AN

=2

NC

，点P满足

AP

=λ

AM

，

BP

=μ

BN

．
（1）求λ与μ的值；
（2）若A、B、C三点坐标分别为（2，-2）、（5，2）、（-3，0），求P点坐标．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：常规题型,平面向量及应用

分析：（1）设

BM

=

a

，

CN

=

b

，选择这两个向量作为基向量，把

BA

用这两个向量表示，然后由平面向量基本定理得关于λ，μ的方程组，即可解出λ，μ的值；
（2）利用中点坐标公式求出M点坐标，根据

AP

=4

PM

，可求出P点坐标．

解答： 解：（1）设

BM

=

a

，

CN

=

b

，
则

AM

=

AC

+

CM

=-

a

-3

b

，

BN

=2

a

+

b

---------------（2分）

AP

=λ

AM

=-λ

a

-3λ

b

，

BP

=μ

BN

=2μ

a

+μ

b

，
故

BA

=

BP

-

AP

=(λ+2μ)

a

+(3λ+μ)

b

-----------------（4分）
而

BA

=

BC

+

CA

=2

a

+3

b

由平面向量基本定理得

λ+2μ=2 3λ+μ=3

，解得

λ= 4 5 μ= 3 5

-----------（6分）
（2）∵A（2，-2）、B（5，2）、C（-3，0），
由于M为BC中点，∴M（1，1），----------------（9分）
又由（1）知

AP

=4

PM

，可得P点的坐标为(

6

5

，

2

5

)．-------（12分）

点评：本题考查了平面向量基本定理，解题的关键是选择适当的基向量表示所需向量．