Question

18．关于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集为（-∞，-1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解关于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值；
（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵关于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0可变形为
（ax-2）（x+1）≥0，
且该不等式的解集为（-∞，-1]∪[2，+∞），
∴a＞0；
又不等式对应方程的两个实数根为-1和2；
∴$\frac{2}{a}$=2，解得a=1；
（2）①a=0时，不等式可化为-2x-2≥0，它的解集为{x|x≤-1}；
②a≠0时，不等式可化为（ax-2）（x+1）≥0，
当a＞0时，原不等式化为（x-$\frac{2}{a}$）（x+1）≥0，
它对应的方程的两个实数根为$\frac{2}{a}$和-1，且$\frac{2}{a}$＞-1，
∴不等式的解集为{x|x≥$\frac{2}{a}$或x≤-1}；
当a＜0时，不等式化为（x-$\frac{2}{a}$）（x+1）≤0，
不等式对应方程的两个实数根为$\frac{2}{a}$和-1，
在-2＜a＜0时，$\frac{2}{a}$＜-1，
∴不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$≤x≤-1}；
在a=-2时，$\frac{2}{a}$=-1，不等式的解集为{x|x=-1}；
在a＜-2时，$\frac{2}{a}$＞-1，不等式的解集为{x|-1≤x≤$\frac{2}{a}$}．
综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤-1}，
a＞0时，不等式的解集为{x|x≥$\frac{2}{a}$或x≤-1}，
-2＜a＜0时，不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$≤x≤-1}，
a=-2时，不等式的解集为{x|x=-1}，
a＜-2时，不等式的解集为{x|-1≤x≤$\frac{2}{a}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想，是中档题目．