Question

【题目】已知函数.

（1）若，，并且函数在实数集上是单调增函数，求实数的取值范围；

（2）若，，，求函数在区间上的值域；

（3）若，都不为0，记函数的图象为曲线，设点，是曲线上的不同两点，点为线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点.试问：曲线在点处的切线是否平行于直线？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当的值域是，当的值域是，当的值域是；（3）曲线在点处的切线不平行于直线，理由详见解析.

【解析】

（1）只需在上恒成立，根据二次函数根的判别式，即可求解；

（2）求导，对分类讨论，求出在单调性，进而求出极值最值，即可得出结论；

（3）由已知得到点坐标，由两点式求出的斜率，再由导数得到曲线在处的斜率，由斜率相等，设，得到，令，后构造函数，判断是否存在零点，即可得出结论.

（1），

当时，，

函数在实数集上是单调增函数，

在上恒成立，

，

实数的取值范围；

（2）当，，时，

，

当，

单调递增，

单调递减，

当，，

，当，

，

当，

综上，当的值域是，

当的值域是，

当的值域是；

（3），都不为0时，点横坐标为

函数，

，曲线在处的切线斜率为

，

直线的斜率为，

则

，

假设曲线在点处的切线平行于直线，则，

即，

不妨设，则，

令，

时恒成立，

所以在上是增函数，又，

，即在上不成立，

曲线在点处的切线不平行直线.