Question

【题目】在平面直角坐标系中，点点关于原点对称的点为二次函数的图像经过点和点回答以下问题：

（1）用表示和的图像的顶点的纵坐标；

（2）证明：若二次函数的图像上的点满足，则向量与的数量积大于.

（3）当变化时，求中二次函数顶点纵坐标的最大值，并求出此时的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见详解（3），

【解析】

（1）根据A点坐标得出B点坐标，将A,B坐标代入，解得代入，配方即得；（2）用坐标表示出，根据和函数单调性，即得；（3）由和基本不等式可得。

（1）由题得，点，且有，整理可得，即，则，整理得，顶点坐标为，则顶点的纵坐标为.

（2）证明：由题得，

，设，当时，，则为单调递增函数，，又，故，即得证.

（3）由（1）得顶点纵坐标为，又，且，则，，等号成立时，则，故中二次函数顶点纵坐标的最大值为，此时.