Question

宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r>0）的球。人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°；B点落在东经30°的赤道上；C点落在北纬60°，东经90°。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。

（1）求AC两点间的球面距离；

（2）求P点的经度；

（3）求AP两点间的球面距离。

Answer 1

解：设球心为O，北纬60°圈所对应的圆心为O’，

（1）那么OO’=。O’A=O’C=。又因为∠AO’C=60°。

所以AC=。那么∠AOC=（）

两点间的球面距离为（）

（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，所以PB=AB。

可知∠POB=∠AOB=60°，又P点在赤道上。所以P点的经度为东经90°或西经30°。

（3）显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90°。

由条件可知O’A平行OB且等于OB的一半，延长BA与OO’交于D点，那么。而O’C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共线且。

可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。