Question

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．

(Ⅰ)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

(Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁？试画出图形；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下，设正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E，求平面AB₁E与平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1＝6，故所求体积是(4分) 　　(Ⅱ)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图所示． 　　证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是 　　故所拼图形成立．(4分) 　　(Ⅲ)方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角． 　　在Rt△ABG中，，则 　　，， 　　，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为．(4分)