Question

10．（1）求值：（$\frac{1}{co{s}^{2}80°}$-$\frac{3}{co{s}^{2}10°}$）•$\frac{1}{cos20°}$；
（2）已知α、β是锐角，cosα=$\frac{4}{5}$，tan（α-β）=-$\frac{1}{3}$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由和差角的三角函数公式和二倍角公式，逐步化简可得；
（2）由题意和同角三角函数基本关系可得sinα=$\frac{3}{5}$，sin（α-β）=-$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cos（α-β）=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，代入cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），计算可得．

解答 解：（1）化简可得（$\frac{1}{co{s}^{2}80°}$-$\frac{3}{co{s}^{2}10°}$）•$\frac{1}{cos20°}$
=（$\frac{1}{si{n}^{2}10°}$-$\frac{3}{co{s}^{2}10°}$）•$\frac{1}{cos20°}$=$\frac{co{s}^{2}10°-3si{n}^{2}10°}{si{n}^{2}10°co{s}^{2}10°}$•$\frac{1}{cos20°}$
=$\frac{（cos10°+\sqrt{3}sin10°）（cos10°-\sqrt{3}sin10°）}{si{n}^{2}10°co{s}^{2}10°}$•$\frac{1}{cos20°}$
=$\frac{2sin（10°+30°）•2sin（10°-30°）}{si{n}^{2}10°co{s}^{2}10°}$•$\frac{1}{cos20°}$
=$\frac{-8si{n}^{2}20°cos20°}{\frac{1}{4}si{n}^{2}20°}$•$\frac{1}{cos20°}$=-32；
（2）∵α、β是锐角，cosα=$\frac{4}{5}$，tan（α-β）=-$\frac{1}{3}$，
∴sinα=$\frac{3}{5}$，sin（α-β）=-$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cos（α-β）=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=$\frac{4}{5}×\frac{3}{\sqrt{10}}$+$\frac{3}{5}×（-\frac{1}{\sqrt{10}}）$=$\frac{9\sqrt{10}}{50}$

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及和差角的三角函数公式和二倍角公式，属中档题．