Question

函数f（x）=2asin（2x-

π

3

）+b（a＞0）定义域[0，

π

2

]，函数的最大值为1，最小值为-5，
（1）求a和b；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）的对称轴．

Answer 1

分析：（1）根据x∈[0，

π

2

]可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，从而得到x=0时sin(2x-

π

3

)有最小值且当x=

5π

12

时sin(2x-

π

3

)有最大值，由此对立关于a、b的方程组，解之即可得到实数a和b的值；
（2）根据正弦函数的单调区间公式，解关于x的不等式-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得f（x）的单调增区间为[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z），同理可得f（x）的单调减区间．
（3）根据正弦曲线的对称轴方程公式，解2x-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z）得x=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z），即得函数f（x）图象的对称轴方程．

解答：解：（1）∵定义域x∈[0，

π

2

]，可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴可得当x=0时，sin(2x-

π

3

)=-

3

2

达到最小值；当x=

5π

12

时，sin(2x-

π

3

)=1达到最大值
结合a＞0，可得{

2a+b=1 - 3 a+b=-5

，解得a=12-6

3

，b=-23+12

3

；
（2）由（1）得f（x）=（24-12

3

）sin（2x-

π

3

）-23+12

3

令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调增区间为[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z），
同理可得f（x）的单调减区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z），
（3）令2x-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），可得x=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z），
∴函数f（x）图象的对称轴方程为x=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z）．

点评：本题给出正弦曲线型三角函数，求函数的单调区间与图象的对称轴．着重考查了三角函数图象的对称轴与单调区间求法等知识，属于中档题．