【题目】设椭圆的左右焦点分别为
,
,在椭圆L上的点
满足
,且
,
,
成等差数列.
(1)求椭圆L的方程;
(2)过点A作两条倾斜角互补的直线,
,它们与椭圆L的另一个交点分别为B,C,试问直线BC的斜率是否是定值?若是,求出该斜率;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)斜率为
,是定值.
【解析】
(1)由已知,
,
成等差数列,
,由
结合焦半径公式可得
,进一步求得
,
结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求;
(2)由(1)求得A点坐标,设直线AB的方程为:,与椭圆方程联立求得B的坐标,同理求得C的坐标,再由斜率公式可得直线BC的斜率为
,是定值.
(1)由,
,
成等差数列,得
,即
,
又,
,即
,
联立①②,解得,
,
.
椭圆L的方程为
;
(2)取,得
,
,
直线
,
的倾斜角互补,
直线
,
的斜率互为相反数.
可设直线AB的方程为:,代入椭圆方程,得
,
设,
,
点
在椭圆上,
,
,
,
又直线AC的斜率与AB的斜率互为相反数,在上式中以代替k,可得
,
,
直线BC的斜率
.
故直线BC的斜率为,是定值.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某职业学校有2000名学生,校服务部为了解学生在校的月消费情况,随机调查了100名学生,并将统计结果绘成直方图如图所示.
(1)试估计该校学生在校月消费的平均数;
(2)根据校服务部以往的经验,每个学生在校的月消费金额(元)和服务部可获得利润
(元),满足关系式:
根据以上抽样调查数据,将频率视为概率,回答下列问题:
(i)将校服务部从一个学生的月消费中,可获得的利润记为,求
的分布列及数学期望.
(ii)若校服务部计划每月预留月利润的,用于资助在校月消费低于400元的学生,估计受资助的学生每人每月可获得多少元?
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【题目】已知动圆M经过点F(1,0),且与直线l:x=﹣1相切,动圆圆心M的轨迹记为曲线C
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)若点P在y轴左侧(不含y轴)一点,曲线C上存在不同的两点A、B,满足PA,PB的中点都在曲线C上,设AB中点为E,证明:PE垂直于y轴.
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【题目】已知双曲线的离心率为2,左右焦点分别为
,
,过右焦点
且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,且
的周长为
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线,点P是双曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点分别是圆心在原点,半径为
和
的圆上的动点.动点
从初始位置
开始,按逆时针方向以角速度
作圆周运动,同时点
从初始位置
开始,按顺时针方向以角速度
作圆周运动.记
时刻,点
的纵坐标分别为
.
(Ⅰ)求时刻,
两点间的距离;
(Ⅱ)求关于时间
的函数关系式,并求当
时,这个函数的值域.
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【题目】(2018·湖南师大附中摸底)已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截得的弦长为8,则直线l的方程是________.
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【题目】已知椭圆E:,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与E有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
若
,点K在椭圆E上,
、
分别为椭圆的两个焦点,求
的范围;
证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
若l过点
,射线OM与椭圆E交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时直线l斜率;若不能,说明理由.
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