Question

【题目】设椭圆的左右焦点分别为，，在椭圆L上的点满足，且，，成等差数列．

（1）求椭圆L的方程；

（2）过点A作两条倾斜角互补的直线，，它们与椭圆L的另一个交点分别为B，C，试问直线BC的斜率是否是定值？若是，求出该斜率；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）斜率为，是定值．

【解析】

（1）由已知，，成等差数列，，由结合焦半径公式可得，进一步求得，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）由（1）求得A点坐标，设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立求得B的坐标，同理求得C的坐标，再由斜率公式可得直线BC的斜率为，是定值．

（1）由，，成等差数列，得，即，

又，，即，

联立①②，解得，，．

椭圆L的方程为；

（2）取，得，，

直线，的倾斜角互补，直线，的斜率互为相反数．

可设直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得，

设，，点在椭圆上，

，，，

又直线AC的斜率与AB的斜率互为相反数，在上式中以代替k，可得，，

直线BC的斜率．

故直线BC的斜率为，是定值．