Question

【题目】已知动圆M经过点F（1，0），且与直线l：x＝﹣1相切，动圆圆心M的轨迹记为曲线C

（1）求曲线C的轨迹方程

（2）若点P在y轴左侧（不含y轴）一点，曲线C上存在不同的两点A、B，满足PA，PB的中点都在曲线C上，设AB中点为E，证明：PE垂直于y轴．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）证明见解析

【解析】

(1)利用圆的半径相等列式化简方程即可.

(2)设A（,y1）,B（,y2）,再求得中点,代入抛物线方程,再利用方程的根方法求解即可.

（1）设圆心M的坐标（x,y）,由题意得：|MF|等于到直线l的距离,∴|x+1|整理得：y2＝4x,

所以曲线C的轨迹方程为：y2＝4x；

（2）设P（x0,y0）,由（1）设A（,y1）,B（,y2）,

AB的中点E（xE,yE）,则yE,

因为PA的中点在抛物线上,

所以（）2＝4,即：y12﹣2y0y1+8x0﹣y02＝0；

同理可得PB的中点也在抛物线上可得：y22﹣2y0y2+8x0﹣y02＝0,

所以y1,y2是方程：y2﹣2y0y+8x0﹣y02＝0两个不同的根,

∴y1+y2＝2y0,

所以yE＝y0,

∴P与E的纵坐标相同,

所以PE垂直于y轴．