Question

【题目】正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ， 证明：对于任意的n∈N* ， 都有Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn2﹣（n2+n﹣1）Sn﹣（n2+n）=0，

∴（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，

∴Sn=n2+n，或Sn=﹣1（舍去），

故正项数列{an}为等差数列，

其中a1=1+1=2，a2=S2﹣S1=4，

故an=2+2（n﹣1）=2n；

（2）解：∵bn= = （ ﹣ ），

∴Tn= （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （1+ ﹣ ﹣ ）

= ﹣ （ + ）；

故Tn＜ ．

【解析】（1）因式分解可得（Sn﹣（n2+n））（Sn+1）=0，从而求得Sn=n2+n，从而判断出{an}为等差数列，从而解得；（2）裂项bn= = （ ﹣ ），从而求其前n项和证明不等式即可．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．