Question

设函数.
（Ⅰ）证明：时，函数在上单调递增；
（Ⅱ）证明：.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）导数法，令，，再由得出，从而得出结论；（Ⅱ）用分析法证明，要证，只需证，接着
构造新函数，用导数法求解.
试题解析：（Ⅰ）证明：，则，，
∵，，
∴.                               (3分)
∴在单调递增     ∴，即，
从而在上单调递增；.                                   (7分)
（Ⅱ）证明：要证，
只需证，即，证明如下：
设，则，(9分)
已知当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴在上的最小值为，即，    (12分)
又由（Ⅰ），当且时，，
∴，即不等式恒成立. (14分)
考点：导数法求解函数的单调性，最值, 构造法.