已知函数
(Ⅰ)若函数在处的切线垂直轴,求的值;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,求的取值范围;
(Ⅲ)讨论函数的单调性.
(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)(1)当时,函数在上递减,在上递增; (2)当时,函数在上递增,在上递减,在上递增 ,(3)当时,函数在上递增;(4)当时,函数在上递增,在上递减,在上递增.
解析试题分析:(Ⅰ)若函数在处的切线垂直轴,求的值,只需对求导,让它的导数在处的值即为切线的斜率,而切线垂直轴,故斜率为零,即,就能求出的值,此类题主要运用导数的几何意义来解,一般不难;(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,求的取值范围,只需对求导,让它的导函数在区间上恒大于零,这样转化为恒成立问题,解这类为题,只需分离参数,把含有参数放到不等式一边,不含参数放到不等式的另一边,转化为求不含参数一边的最大值或最小值即可,此题分离参数得:,只需求出的最大值即可;(Ⅲ)讨论函数的单调性,只需对求导,判断它的导函数在区间上的符号,求出导数得,由于的值不知,需讨论的取值范围,从而确定的单调性.
试题解析:(Ⅰ)因为,故, 函数在处的切线垂直轴,所以;
(Ⅱ)函数在为增函数,所以当时,恒成立,分离参数得:,从而有:;
(Ⅲ), ,令,因为函数的定义域为,所以(1)当,即时,函数在上递减,在上递增; (2)当,即时,函数在上递增,在上递减,在上递增 ,(3)当,即时,函数在上递增;(4)当,即时,函数在上递增,在上递减,在上递增.
考点:函数与导数,导数与函数的单调性、导数的几何意义,学生的基本推理能力,及基本运算能力以及转化与化归的能力.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量(单位:千套)与销售价格(单位:元/套)满足的关系式,其中,为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求的值;
(2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数点)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
定义在上的函数同时满足以下条件:①函数在上是减函数,在上是增函数;②是偶函数;③函数在处的切线与直线垂直.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设,若存在使得,求实数的取值范围.
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