已知函数
.
（1）若函数
在
处取得极值，且函数只有一个零点，求
的取值范围.
（2）若函数在区间
上不是单调函数，求
的取值范围.
（1）
；（2）
.
解析试题分析：（1）函数在处取得极值，知
，再由函数只有一个零点和函数的图象特点判断函数的极大值和极小值和0的大小关系即可解决，这是解决三次多项式函数零点个数的一般方法，体现了数形结合的数形思想；（2）三次函数的导函数是二次函数，要使三次函数在
不是单调函数，则要满足导数的
，要使函数在区间上不是单调函数，还要满足三次函数的导函数在
上至少有一个零点.
试题解析：（1）
，由
，
所以
，
可知：当
时，
，单调递增；当
时，
，
单调递减；
当时，
，
单调递增；而.
所以函数只有一个零点或
，解得
的取值范围是.
.由条件知方程
在
上有两个不等的实根，且在至少有一个根.由 ；
由
使得：
.
综上可知：的取值范围是.
考点：三次函数的零点、三次函数的单调性.
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
，其中
，
为参数，且
．
(1)当
时，判断函数
是否有极值；
(2)要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间
内都是增函数，求实数
的取值范围．
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.
时，试确定函数
在其定义域内的单调性；
上的最小值；
.
.
在
上的最小值；
有两个不同的极值点
、
且
，求实数
的取值范围．
；（4分）
有
成立，当且仅当
时取等号.由此结论证明:
.（6分）
，其中
为常数，
为自然对数的底数.
的单调区间；
，且
上的最大值为
，求
时，试证明：
.
.
的单调区间；
，
，当
时，有
成立；
恒成立.求实数
的取值范围.
.
时，函数
在
上单调递增；
.
（
且
）
的单调性；
，证明：
时，
成立