Question

已知直线ax-y+5=0与圆C：x²+y²=9相较于不同两点A，B
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在是实数a，使得过点P（-2，1）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得圆心C（0，0）到直线ax-y+5=0的距离d=

|0-0+5|

a2+1

=

5

a2+1

＜r=3，由此能求出a＞

4

3

或a＜-

4

3

．
（2）AB的垂直平分线过圆心，直线PC与直线ax-y+5=0垂直，由此能求出存在a=2，使得过P（-2，1）的直线l垂直平分弦AB．

解答： 解：（1）圆C：x²+y²=9的圆心C（0，0），半径r=3，
圆心C（0，0）到直线ax-y+5=0的距离d=

|0-0+5|

a2+1

=

5

a2+1

，
∵线ax-y+5=0与圆C：x²+y²=9相较于不同两点A，B，
∴d＜r，
∴

5

a2+1

＜3，
解得a＞

4

3

或a＜-

4

3

．
（2）∵A，B为圆上的点，∴AB的垂直平分线过圆心，
∴直线PC与直线ax-y+5=0垂直，
∵k_PC=-

1

2

，∴-

1

2

a=-1，解得a=2，
∵a=2符合a＞

4

3

或a＜-

4

3

，
∴存在a=2，使得过P（-2，1）的直线l垂直平分弦AB．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，解题时要注意直线与圆的位置关系的合理运用．