Question

已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点坐标为（0，1），离心率e=

2

5

，过椭圆的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（1，0）满足(

MA

+

MB

)⊥

AB

，求直线l的方程；
（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意知b=1．e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2

5

，解出即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），代入椭圆方程可得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由(

MA

+

MB

)⊥

AB

，可得(

MA

+

MB

)•

AB

=0，利用根与系数的关系、向量坐标运算、数量积运算可得3k²-1=0，解出即可得出．（Ⅲ）依题意知C(

x

1

，-

y

1

)，直线BC的方程为y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，令y=0，可得x=

y1x2+y2x1

y1+y2

．l的方程为y=k（x-2），A、B在直线l上，可用k，x₁，x₂表示y₁，y₂即可得出x=

5

2

为定值．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），代入椭圆方程可得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由(

MA

+

MB

)⊥

AB

，可得|MA|=|MB|，利用两点之间的距离公式即可解出．
（Ⅲ）设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则

CB

∥

CN

，利用向量共线定理可得t=

5

2

．即可得出．

解答： 解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意知b=1．
∴

a2-b2 a2

=

2

5

⇒a2=5，故椭圆方程为

x2

5

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），
代入

x2

5

+y2=1，得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

20k2

5k2+1

，x1x2=

20k2-5

5k2+1

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂），
∴

MA

+

MB

=(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(x1+x2-2，y1+y2)，

AB

=(x2-x1，y2-y1)，
∵(

MA

+

MB

)⊥

AB

，
∴(

MA

+

MB

)•

AB

=0，
∴（x₁+x₂-2）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0，
∴

20k2

5k2+1

-2-

4k2

5k2+1

=0，
∴3k2-1=0⇒k=±

3

3

，经检验满足△＞0，
∴直线l的方程为：y=

3

3

x-

2 3

3

或y=-

3

3

x+

2 3

3

．
（Ⅲ）在x轴上存在定点N(

5

2

，0)，使得C、B、N三点共线．
依题意知C(

x

1

，-

y

1

)，直线BC的方程为y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
令y=0，则x=

y1(x2-x1)

y2+y1

+x1=

y1x2+y2x1

y2+y1

，
∵l的方程为y=k（x-2），A、B在直线l上，
∴y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2）
∴x=

k(x1-1)x2+k(x2-1)x1

k(x1+x2)-4k

=

2kx1x2-2k(x1+x2)

k(x1+x2)-4k

=

2k• 20k2-5 5k2+1 -2k• 20k2 5k2+1

k 20k2 5k2+1 -4k

=

5

2

∴在x轴上存在定点N(

5

2

，0)，使得C、B、N三点共线．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x-2）（k≠0），
代入

x2

5

+y2=1，得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

20k2

5k2+1

，x1x2=

20k2-5

5k2+1

，
∴y1+y2=k(x1+x2-4)=-

4k

5k2+1

，y₁-y₂=k（x₁-x₂），
∵(

MA

+

MB

)⊥

AB

，
∴|MA|=|MB|，
∴

(x1-1)2+y1

=

(x2-1)2+y2

，
∴（x₁+x₂-2）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，(1+

k

2

)(x1+x2)-2-4

k

2

=0，
∴3k²-1=0，解得k=±

3

3

，经检验满足△＞0，
∴直线l的方程为：y=

3

3

x-

2 3

3

或y=-

3

3

x+

2 3

3

．
（Ⅲ） 在x轴上存在定点N(

5

2

，0)，使得C、B、N三点共线．
设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则

CB

∥

CN

，
∵

CB

=(x1-x2，y2+y1)，

CN

=(t-x1，y1)，
∴（x₂-x₁）y₁-（t-x₁）（y₁+y₂）=0，
即（x₂-x₁）k（x₁-2）-（t-x₁）k（x₁+x₂-4）=0．
∴2x₁x₂-（t+2）（x₁+x₂）+4t=0，
∴2

20k2-5

5k2+1

-(t+2)

20k2

5k2+1

+4t=0，
∴t=

5

2

．
∴存在N(

5

2

，0)，使得C、B、N三点共线．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．