Question

椭圆C的焦点分别为F₁（-1，0）F₂（1，0），P（1，

2

2

）是椭圆上的一个点
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设原点为O，斜率为

2

2

的直线l过点F₁且与椭圆C相交于A、B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，解出即可．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．依题意得直线l的方程为：y=

2

2

(x+1)，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式|AB|=

(1+ 1 2 )[(x1+x2)2-4x1x2]

．
点到直线的距离公式可得原点O到直线l的距离d．再利用S_△AOB=

1

2

d•|AB|即可得出．

解答： 解：（I）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c为半焦距．
可知：c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，
联立解得b²=1，c=1，a²=2．
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依题意得直线l的方程为：y=

2

2

(x+1)，
联立

x2 2 +y2=1 y= 2 2 (x+1)

，化为2x²+2x-1=0，
∴x₁+x₂=-1，x1x2=-

1

2

．
∴|AB|=

(1+ 1 2 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 2 ×[(-1)2-4×(- 1 2 )]

=

3 2

2

．
原点O到直线l的距离为：d=

| 2 |

( 2 )2+22

=

3

3

．
∴S_△AOB=

1

2

d•|AB|=

1

2

×

3

3

×

3 2

2

=

6

4

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．