Question

【题目】已知三棱柱中，、分别是与的中点，为等边三角形，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）（i）求证：平面；

（ii）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（i）见解析（ii）

【解析】

（Ⅰ）由推出平面，由推出平面，则平面平面，由平面PMN即可得证；（Ⅱ）（i）勾股定理证明、，即可推出平面；（ii）建立空间直角坐标系，求出平面AMN，平面BMN的法向量代入即可求得两向量夹角的余弦值，再求出正弦值即可.

（Ⅰ）取中点，连接MP，则，

因为平面ABC，平面ABC，所以平面，

因为N、P分别的中点，所以，又，所以，

因为平面ABC，平面ABC，故平面，

因为，平面PMN，平面PMN，

于是平面平面，

又平面PMN，所以平面.

（Ⅱ）（i）不妨设，则.

依题意，故为等腰底边上的中线，则.

于是，

因为，所以，同理，则，

又，平面，平面，

所以平面.

（ii）方法一：因为平面，平面，所以，

因为为等边三角形且为的中点，所以，

又,平面，平面，

所以平面，因为平面AMN，故平面平面.

设，则为平面与平面的交线.过作于点，则平面.又过作于点，则平面，即为二面角的平面角.

在中，，，则；

在中，.

所以，即二面角的正弦值是.

方法二：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，.

设平面的法向量，平面的法向量.

由，可取；

由，可取.

于是，

所以二面角的正弦值是.