Question

画出函数f（x）=x²+1的图象，并根据图象回答下列问题：：
（1）比较f（-2），f（1），f（3）的大小；
（2）若0＜x₁＜x₂（或x₁＜x₂＜0，或|x₁|＜|x₂|）比较f（x₁）与f（x₂）的大小；
（3）分别写出函数f（x）=x²+1（x∈（-1，2]），f（x）=x²+1（x∈（1，2]）的值域．

Answer 1

考点：不等关系与不等式,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）=x²+1的图象如图所示，由图象可知：函数f（x）在[0，+∞）单调递增，即可得出；
（2）由图象利用单调性即可得出；
（3）①函数f（x）=x²+1（x∈（-1，2]），
由图象可知：函数f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增．即可得出最值．
②f（x）=x²+1在（1，2]上单调递增．即可得出函数f（x）在x∈（1，2]的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²+1的图象如图所示，
由图象可知：函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（1）＜f（2）＜f（3）．
∵f（-2）=f（2），
∴f（1）＜f（-2）＜f（3）．
（2）由图象可知：函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
又0＜x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂）；
若x₁＜x₂＜0，则f（x₁）＞f（x₂）；
若|x₁|＜|x₂|，则f（|x₁|）＜f（|x₂|）．
（3）①函数f（x）=x²+1（x∈（-1，2]），
由图象可知：函数f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增．
∴当x=0时，函数（x）取得最小值，f（0）=1；当x=2时，函数（x）取得最大值，f（2）=5（f（2）＞f（-1））．
∴函数f（x）=x²+1在x∈（-1，2]上的值域为：[1，5]．
②f（x）=x²+1在（1，2]上单调递增．
而f（1）=2，f（2）=5．
∴f（x）=x²+1在x∈（1，2]的值域为（2，5]．

点评：本题考查了二次函数的图象与单调性、值域，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于中档题．