Question

12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，bsinA=（3b-c）sinB．
（1）若2sinA=3sinB，且△ABC的周长为8，求c；
（2）若b=2，∠B=60°，求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可求a+c=3b，2a=3b，联立即可解得c的值．
（2）由余弦定理可得：4=（a+c）²-3ac，由（1）及已知可得：a+c=3b=6，从而解得ac，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵bsin A=（3b-c）sinB，可得：ab=（3b-c）b，…2分
∴a=3b-c，即a+c=3b，…3分
∵2sinA=3sinB，
∴2a=3b，
∴a+b+c=4b=8，可得：b=2，解得a=c=3，…6分
（2）∵b=2，∠B=60°，
∴由余弦定理可得：2²=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
∵由（1）及已知可得：a+c=3b=6，
∴解得：ac=$\frac{32}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×$$\frac{32}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．