Question

3．在空间直角坐标系o-xyz中，A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）确定的平面记为α，不经过点A的平面β的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，2，-2），则（　　）

• A． α∥β
• B． α⊥β
• C． α，β相交但不垂直
• D． α，β所成的锐二面角为60°

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{AB}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（0，1，1），设平面α的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），列出方程组，求出$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），由此能求出α∥β．

解答 解：∵A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）确定的平面记为α，
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（0，1，1），
设平面α的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=x+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
∵不经过点A的平面β的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，2，-2），
$\overrightarrow{n}$=（2，2，-2）=2（1，1，-1）=2$\overrightarrow{m}$，
∴α∥β．
故选：A．

点评 本题考查两个平面的位置关系的判断，考查空间向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想，是基础题．