Question

8．如图所示的三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，PA=4，E，F，G分别为棱PB，BC，AC的中点，点H在棱AP上，AH=1．
   （1）试判断$\overrightarrow{EG}$与$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{BC}$是否共线；
（2）求空间四面体EFGH的体积．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能推导出$\overrightarrow{EG}$与$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{BC}$共线．
（2）点H在棱AP上，AH=1，得H（0，0，1），利用向量法求出$\overrightarrow{HE}$⊥$\overrightarrow{HF}$，从而S_△HEF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，出平面HEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-1），从而点G到平面HEF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，由此能求出空间四面体EFGH的体积．

解答 解：（1）∵三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=AC=2，PA=4，E，F，G分别为棱PB，BC，AC的中点，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），E（1，0，2），G（0，1，0），
$\overrightarrow{EG}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-4），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BC}$=（-2，2，-4）=2（-1，1，-2）=2$\overrightarrow{EG}$，
∴$\overrightarrow{EG}$与$\overrightarrow{PA}$$+\overrightarrow{BC}$共线．
（2）∵点H在棱AP上，AH=1，∴H（0，0，1），F（1，1，0），
$\overrightarrow{HE}$=（1，0，1），$\overrightarrow{HF}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{HG}$=（0，1，-1），
∵$\overrightarrow{HE}•\overrightarrow{HF}$=1+0-1=0，∴$\overrightarrow{HE}$⊥$\overrightarrow{HF}$，
∴S_△HEF=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{HE}|×|\overrightarrow{HF}|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设平面HEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HE}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HF}=x+y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-1），
点G到平面HEF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴空间四面体EFGH的体积：
V=V_G-HEF=$\frac{1}{3}×{S}_{△HEF}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{6}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查两向量是否共线的判断与证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．