Question

16．已知点P（3cosθ，sinθ）在直线x+3y=1上，则sin2θ=-$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 由点P（3cosθ，sinθ）在直线x+3y=1上，得到sinθ+cosθ=$\frac{1}{3}$，利用同角三角函数关系式推导出2sinθcosθ=-$\frac{8}{9}$，由此利用二倍角公式能求出sin2θ的值．

解答 解：∵点P（3cosθ，sinθ）在直线x+3y=1上，
∴3cosθ+3sinθ=1，
∴sinθ+cosθ=$\frac{1}{3}$，
两边同时平方，得：
sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=$\frac{1}{9}$，
∴2sinθcosθ=-$\frac{8}{9}$，
∴sin2θ=-$\frac{8}{9}$．
故答案为：-$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．