Question

18．随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有A，B，C三个旅游景点，在岸边BC两地的中点处设有一个垃圾回收站点O（如图），A，B两地相距10km，从回收站O观望A地和B地所成的视角为60°，且${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{OB}^2}≥4\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，设AC=xkm；
（1）用x分别表示${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{OB}^2}$和$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，并求出x的取值范围；
（2）某一时刻太阳与A，C三点在同一直线，此时B地到直线AC的距离为BD，求BD的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据OC=BO，分别在△OAC与△OAB中利用余弦定理，可得x²=OA²+OB²+OA•OB且100=OA²+OB²-OA•OB．两式联解即可得出用x表示OA²+OB²、OA•OB的式子，再根据基本不等式与实际问题有意义建立关于x的不等式组，解之即可得到x的取值范围；
（2）根据AO是△AOB的中线，利用三角形的面积公式算出S_△ABC=2S_△AOB=$\frac{1}{2}$•AC•BD，解出BD=$\frac{\sqrt{3}（{x}^{2}-100）}{2x}$，设BD=f（x），由于f（x）在区间（10，10$\sqrt{3}$]上是增函数，可得当x=10$\sqrt{3}$时，f（x）有最大值，由此可得当AC=10$\sqrt{3}$时BD的最大值为10．

解答 解：（1）在△OAC中，∠AOC=120°，AC=x，
由余弦定理得，OA²+OC²-2OA•OC•cos120°=x²，
又OC=BO，
所以OA²+OB²-2OA•OB•cos120°=x²①
在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°
由余弦定理得，OA²+OB²-2OA•OB•cos60°=100②
①+②得$O{A^2}+O{B^2}=\frac{{{x^2}+100}}{2}$，可得：${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{OB}^2}$=$\frac{{x}^{2}+100}{2}$，
①-②得4OA•OB•cos60°=x²-100，
又因为：${\overrightarrow{OA}^2}+{\overrightarrow{OB}^2}≥4\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
所以$\frac{{x}^{2}+100}{2}$≥x²-100，即x²≤300，
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{{x}^{2}-100}{4}$＞0，即x²＞100，
所以$10＜x≤10\sqrt{3}$．
（2））∵O是BC的${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•AC•BD$中点，可得S_△OAB=S_△OAC，
故${S_{△ABC}}=2{S_{△OAB}}=2•\frac{1}{2}•OA•OBsin{60^0}=\frac{{\sqrt{3}（{x^2}-100）}}{4}$，
又，
∴$\frac{1}{2}$•x•BD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x²-100），得BD=$\frac{\sqrt{3}（{x}^{2}-100）}{2x}$．
设BD=f（x），
所以$f（x）=\frac{{\sqrt{3}（{x^2}-100）}}{2x}$，$x∈（10，10\sqrt{3}]$，
又$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}（x-\frac{100}{x}）$，y=x，$y=-\frac{100}{x}$在$（10，10\sqrt{3}]$上都是增函数；
所以，f（x）在$（10，10\sqrt{3}]$上是增函数，
所以f（x）的最大值为$f（10\sqrt{3}）=10$，即BD的最大值为10．
（利用单调性定义证明f（x）在$（10，10\sqrt{3}]$上是增函数，同样给满分；如果直接说出f（x）在$（10，10\sqrt{3}]$上是增函数，但未给出证明或讨论，扣1分）

点评 本题给出实际应用问题，求BD的最大值，着重考查了余弦定理、三角形的面积公式、二次函数的单调性等知识，考查了解三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题．