Question

18．设整数n≥9，在集合{1，2，3，…，n} 中任取三个不同元素a，b，c （a＞b＞c），记f（n）为满足a+b+c 能被3整除的取法种数．
（1）直接写出f（9）的值；
（2）求f（n）表达式．

Answer 1

分析 （1）直接列举即可求出，
（2）当n=3k集合可以分为A={1，4，…，3k-2}，B={2，5，…，3k-1}，C={3，6，…，3k}，分别求出所有的种数，根据分类计数原理可得，同理可得n=3k+1，n=3k+2，问题得以解决．

解答 解：（1）f（9）=12．
（2）①当n=3k，（k≥3k，k∈N*）时，记k=$\frac{n}{3}$，集合为{1，2，3，…，3k-1，3k}．
将其分成三个集合：A={1，4，…，3k-2}，B={2，5，…，3k-1}，C={3，6，…，3k}．
要使得a+b+c能被3整除，a，b，c可以从A取三个或从B取三个或从C取三个或从C取一个，从A中取一个，从B中取一个（此数与A中取的那个数之和能被3整除）．故有
3C_k3+C_k¹C_k¹=$\frac{1}{2}$k（k-1）（k-2）+k²=$\frac{1}{54}$（n³-3n²+18n）种取法；      
②当n=3k+1，k≥3，k∈N^*时，记k=$\frac{n-1}{3}$，集合为{1，2，3，…，3k，3k+1}．
将其分成三个集合：A={1，4，…，3k-2，3k+1}，B={2，5，…，3k-1}，C={3，6，…，3k}．
要使得a+b+c能被3整除，a，b，c可以从A取三个或从B取三个或从C取三个或从C取一个，从B中取一个，从A中取一个（此数与B中取的那个数之和能被3整除）．故有
2C_k³+C_k+1³+C_k¹C_k¹=$\frac{1}{3}$k（k+1）（k-1）+$\frac{1}{6}$k（k-1）（k+1）+k²=$\frac{1}{2}$k（k-1）²+k²=$\frac{1}{54}$（n³-3n²+12n-10）种取法；                                                      
③当n=3k+2，k≥3，k∈N^*时，记k=$\frac{n-2}{3}$，集合为{1，2，3，…，3k+1，3k+2}．．
将其分成三个集合：A={1，4，…，3k-2，3k+1}，B={2，5，…，3k-1，3k+2}，C={3，6，…，3k}．要使得a+b+c能被3整除，a，b，c可以从A取三个或从B取三个或从C取三个或从CC取一个，从B中取一个，从A中取一个（此数与B中取的那个数之和能被3整除）．故有C_k³+2C_k+1³+C_k¹C_k+1¹=$\frac{1}{3}$k（k+1）（k-1）+$\frac{1}{6}$k（k-1）（k-2）+k（k+1）=$\frac{1}{2}$k（k-1）²+k（k+1）=$\frac{1}{54}$（n³-3n²+18n+32）种取法；                                                             
综上所述，f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{3}-3{n}^{2}+18n}{54}，n=3k，k≥3，k∈N*}\\{\frac{{n}^{3}-3{n}^{2}+12n-10}{54}，n=3k+1，k≥3，k∈N*}\\{\frac{{n}^{3}-3{n}^{2}+18n+32}{54}，n=3k+2，k≥3，k∈N*}\end{array}\right.$

点评 本题考查了分类计数原理以及整除的性质，考查了学生的分类讨论的思想，属于难题