Question

13．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点与抛物线y²=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$，如图所示．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过e=$\frac{1}{2}$及c²=a²-b²计算可得椭圆的方程；
（2）将准线方程代入椭圆方程，求得A点坐标，求得抛物线的切线方程，由△=0，求得k的值，分别代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段AB的长．

解答 解：（1）根据题意，得F（1，0），∴c=1，
又e=$\frac{1}{2}$，∴a=2，∴b²=a²-c²=3，
故椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）抛物线的准线方程为x=-1
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由A位于第二象限，则A（-1，$\frac{3}{2}$），
过点A作抛物线的切线l的方程为：$\frac{3}{2}y=4×\frac{x+（-1）}{2}$
即直线l：4x-3y-4=0
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y-4=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$整理得
整理得：ky²-4y+4k+6=0，
当k=0，解得：y=$\frac{3}{2}$，不符合题意，
当k≠0，由直线与抛物线相切，则△=0，
∴（-4）²-4k（4k+6）=0，解得：k=$\frac{1}{2}$或k=-2，
当k=$\frac{1}{2}$时，直线l的方程y-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}（x+1）}\end{array}\right.$，整理得：（x+1）²=0，
直线与椭圆只有一个交点，不符合题意，
当k=-2时，直线l的方程为y-$\frac{3}{2}$=-2（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y-\frac{3}{2}=-2（x+1）}\end{array}\right.$，整理得：19x²+8x-11=0，解得：x₁=-1，x₂=$\frac{11}{19}$，
则y₁=$\frac{3}{2}$，y₂=-$\frac{63}{38}$，
由以上可知点A（-1，$\frac{3}{2}$），B（$\frac{11}{19}$，-$\frac{63}{38}$），
∴丨AB丨=$\sqrt{[\frac{11}{19}-（-1）]^{2}+（-\frac{63}{38}-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{30\sqrt{5}}{19}$，
综上可知：线段AB长度为$\frac{30\sqrt{5}}{19}$

点评 本题考查直线与抛物线及椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．