Question

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=1，ccosAcosC=csin（A+B）sinA-sinC
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为$\frac{1}{2}$，求sinA+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），可得B的值．
（2）由三角形面积公式可求ac=$\sqrt{2}$，由余弦定理可得a+c=$\sqrt{2}+1$，进而利用正弦定理化简所求即可计算得解．

解答 解：（1）∵b=1，ccosAcosC=csin（A+B）sinA-sinC=csinCsinA-bsinC，
∴由正弦定理可得：sinCcosAcosC=sinCsinCsinA-sinBsinC，
∵C∈（0，π），sinC≠0，
∴cosAcosC=sinCsinA-sinB，可得sinB=sinCsinA-cosAcosC=-cos（A+C）=cosB，
∵B∈（0，π），可得：tanB=1，可得：B=$\frac{π}{4}$．
（2）∵B=$\frac{π}{4}$，△ABC的面积为$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×ac×\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴解得：ac=$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得：b²=1=a²+c²-2×$a×c×\frac{\sqrt{2}}{2}$=a²+c²-2
=（a+c）²-2ac-2=（a+c）²-2$\sqrt{2}$-2，
∴a+c=$\sqrt{2}+1$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴sinA+sinC=$\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{a+c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．